Wilcoxon Rangsummentest

Als ein nichtparametrischer Test auf Lagealternativen zweier unabhängiger Stichproben ist der Wilcoxon Rangsummentest bekannt. Er kann daher in seiner Zielsetzung mit dem parametrischen Zweistichproben- t-Test verglichen werden. Es wird davon ausgegangen, dass die Daten mindestens ordinales Meßniveau besitzen und Realisationen der Stichprobenvariablen Xi,. . ., Xm bzw. Yi,. . ., Yn darstellen. Diese Stichprobenvariablen besitzen stetige Verteilungsfunktionen F bzw. G. Das Testproblem stellt sich damit bei zweiseitiger Formulierung der Hypothesen wie folgt dar (Büning;Trenkler, 1978, S. 145): Der Test könnte bspw. zum Vergleich der Fernseheinschaltdauern während des Vorabendprogramms von männlichen und weiblichen Jugendlichen herangezogen werden. Es wird also untersucht, ob die Verteilungen der beiden Stichproben hinsichtlich ihrer Lage signifikant gegeneinander verschoben sind. Zur Bestimmung einer Prüf- größe werden alle Beobachtungen beider Stichproben zusammengefügt und aufsteigend sortiert. Auf diese Weise wird jeder Beobachtung ein Rangplatz zugeordnet, d. h. der kleinste Beobachtungswert erhält den Rangplatz 1 und der größte den Rangplatz n + m. Die Prüfgröße bildet die Summe der Rangplätze der
1. Stichprobe, also die Rangplätze der Beobachtungen xi,. . ., xm. Die Verteilung dieser Prüfgröße läßt sich unter der Annahme der Gültigkeit von Ho mit Hilfe kombinatorischer Überlegungen herlei- ten. Die Nullhypothese ist zum Signifikanzniveau a abzulehnen, wenn der Wert der Prüfgröße kleiner oder gleich dem a/2 Fraktilbzw. größer oder gleich dem l-a/2 Fraktil dieser Verteilung ist. Die Fraktile der Verteilung der Rangsumme sind für n < 25 bei Büning/Trenkler (1978) für verschiedene a- Werte vertäfelt. An gleicher Stelle wird für n > 25 eine Approximationsformel für die Rangsummenverteilung in Abhängigkeit von n durch eine Normalverteilung beschrieben. Wilcoxon Vorzeichen-Rangtest Der Wilcoxon Vorzeichen-Rangtest für den Median stellt einen nichtparametrischen Test für symmetrische stetige Verteilungen dar, und ist daher als Analogon zum parametrischen Einstichproben- t-Test zu sehen. Es wird davon ausgegangen, dass die Daten kardinales Meßniveaubesitzenund die Stichprobenvariablen Xi,. . ., Xn unabhängig sind. Der Test könnte bspw. bei gleichverteilten Vertriebskenngrößen eingesetzt werden. Ferner wird unterstellt, dass sich die Stichprobenvariablen symmetrisch um den Median verteilen. Die Hypothesenfürdas zweiseitige Testproblem werden wiefolgt formuliert (.Büning;Trenkler, 1978, S. 110): Zur Bestimmung der Prüfgröße geht man zunächst zu den Differenzen Di = X; - Mo über. Die Differenzen werden der Größe ihrer Absolutbeträge entsprechend aufsteigend angeordnet und so mit Rangnummern versehen. r(| Di | ) bezeichnet den Rangplatz der absoluten Differenz | D; |. Als Prüfgröße wird die Summe der Rangplätze der positiven Differenzen verwendet, also Unter Gültigkeit der JNullhypothese läßt sich die Verteilung von W+ kombinatorisch für verschiedene n ermitteln. Die Nullhypothese ist zum Signifikanzniveau a abzulehnen, wenn der Wert der Prüf große kleiner oder gleich dem a/2 Fraktil bzw. größer oder gleich dem -aJ2 Fraktil dieser Verteilung ist. Die Fraktile der Verteilung von W+ sind für 4 < n < 20 bei Biining/Trenkler (1978) vertäfelt. An gleicher Stelle wird für n > 20 eine Approximationsformel für die Verteilung von W+ durch eine Normalverteilung beschrieben.

Literatur: Büning, H.; Trenkler, G., Nichtparametrische statistische Methoden, Berlin, New York 1978.

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