Ganzzahliges Optimierungsmodell

Wird in einem OM verlangt, dass alle oder einige Variablen nur ganzzahlige Werte annehmen dürfen, so liegt ein ganzzahliges bzw. gemischt-ganzzahliges OM vor.

Im Rahmen der ganzzahligen Optimierung müssen alle oder einige Variablen ganzzahlige Werte aufweisen. Dies ist zum Beispiel bei der Bestimmung von Produktionsmengen von Stückgütern oder bei der Entscheidung über die Annahme oder Ablehnung eines Auftrages notwendig. Im ersten Fall ergibt sich ein (gemischt-) ganzzahliges, im zweiten ein (gemischt-) binäres Optimierungsmodell.

Teildisziplin der mathematischen Optimierung und der Planungsmathematik des 0perations Research. Die Modelle der ganzzahligen Optimierung sind in ihrer Struktur gewöhnlich identisch mit denen der linearen Optimierung bzw. nichtlinearen Optimierung, unterscheiden sich von ihnen aber durch die Bedingung, dass für einige oder alle Variablen ganzzahlige Werte gefordert werden. Diese Bedingung steht häufig der effizienten mathematischen Lösung der Probleme im Wege. Es gibt zwar zur Behandlung von ganzzahligen Optimierungsaufgaben zahlreiche Verfahren, wobei der Rechenaufwand aber mit der Problemgrösse exponentiell zunimmt, so dass sie sich nur für kleinere Modelle eignen. Es sind dies die Entscheidungsbaumverfahren und die Schnittebenenverfahren. Für grosse Modelle der ganzzahligen Optimierung sind diese Verfahren nicht effizient genug, so dass sie häufig durch heuristische Verfahren ersetzt werden. Bei ungünstiger Modellstruktur lassen sich schon Probleme mit weniger als fünfzig ganzzahligen Variablen mit vertretbarem Rechenaufwand nicht mehr exakt, sondern nur noch heuristisch lösen. Da sich die meisten Probleme der kombinatorischen Optimierung in Modellen der ganzzahligen Optimierung darstellen lassen, ist der Mangel an effizienten Verfahren schwerwiegend. Gleichwohl besteht keine Hoffnung, hier in absehbarer Zeit einen Durchbruch zu erzielen. Literatur: Williams, H. P., Model Building in Ma- thematical Programming, 2. Aufl., Chichester 1985.

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