Entscheidungsbaumverfahren

Der Endbestand wird in das Schlußbilanzkonto übertragen (Buchungssatz bei Aktivkonto: Schlußbilanzkonto an Aktivkonto; Buchungssatz bei Passivkonto: Passivkonto an Schlußbilanzkonto).

Oberbegriff für eine Klasse von Algorithmen der kombinatorischen Optimierung und ganzzahligen Optimierung, Teilgebiet der Planungsmathematik. Mit ihnen werden - optimale bzw. zulässige — Lösungen für kombinatorische Probleme mit Hilfe einer sich auffächernden Baumstruktur gesucht. Sie bauen auf dem Prinzip der Enumeration auf, d. h. auf der Berechnung sämtlicher Lösungen und Auswahl der besten. Die Entscheidungsbaumverfahren lassen sich hierarchisch gliedern in Verfahren der (1) vollständigen Enumeration, insb. (a) expliziten vollständigen Enumeration (Voll-Enumeration), (b) impliziten vollständigen Enumeration ( Branch and Bound, begrenzte Enu- meration und dynamische Optimierung), (2) unvollständigen Enumeration (heuristische Verfahren). Bei den Verfahren der expliziten vollständigen Enumeration werden sämtliche möglichen Lösungen tatsächlich berechnet und miteinander verglichen. Der damit verbundene Rechenaufwand wächst mit der Problemgrösse schnell an, so dass diese Verfahren nur bei kleinen Problemen wirtschaftlich vernünftig sind. Bei der impliziten vollständigen Enumeration werden solche Zweige des Lösungsbaumes nicht weiter verfolgt, bei denen erkennbar ist, dass sie nicht zur gesuchten (optimalen) Lösung führen. Die Raffinesse der zahlreichen Verfahren liegt darin, solche Zweige frühzeitig zu erkennen. Gleichwohl wächst der Rechenaufwand für diese Verfahren ebenfalls steil mit der Problemgrösse an, so dass sie sich zumeist nur bei kleineren Problemen heranziehen lassen. Für die meisten grösseren kombinatorischen Probleme werden Verfahren der unvollständigen Enumeration eingesetzt. Bei ihnen lässt sich der erforderliche Rechenaufwand dadurch steuern, dass man im Entscheidungsbaum mehr oder weniger viele Zweige abschneidet, von denen man nur vermutet, dass sie nicht zur gesuchten (optimalen) Lösung führen. Diese Verfahren garantieren daher nicht das Auffinden der gesuchten (optimalen) Lösung, auch wenn sie zumeist hinreichend gute Lösungen liefern. Entscheidungsbäumverfahren müssen für jeden Problemtyp neu entwickelt werden. Dabei sind über vier Komponenten der Verfahren Entwurfsentscheidungen zu treffen: • Organisation des Baumes: Enumerationsbäume lassen sich sequentiell (Zweigfolge für Zweigfolge) aufbauen und verarbeiten oder parallel (alle Zweigfolgen gleichzeitig) oder in einer Mischorganisation. • Verzweigung: Entscheidungsbäume entstehen durch wiederholtes Verzweigen. Dabei bestehen gewöhnlich zahlreiche Möglichkeiten zur Durchführung der Verzweigung, unter denen eine zu wählen ist. Das betrifft sowohl die Reihenfolge der betrachteten Elemente (im Beispiel des Branch and Bound: A vor B vor C ...) als auch die Behandlung der Elemente (im dortigen Beispiel: A oder nicht-A, ...; denkbar wäre auch A oder B oder C ...). • Bewertung: Zur Entscheidung über die weitere Verzweigung müssen die einzelnen Zweige bewertet werden. Dies geschieht gewöhnlich durch Lösen eines "relaxierten" Problems, d.h. eines gegenüber dem eigentlichen Problem reduzierten und leichter lösbaren Problems. • Abbruch: Es ist festzulegen, welche Zweige nicht weiter verfolgt werden sollen (insb. bei heuristischen Verfahren) und wann das gesamte Verfahren zum Abschluss gekommen ist.

Literatur: Müller-Merbach, H., Optimale Reihenfolgen, Berlin u.a. 1970. Hu, T.C., Combinatorial Algorithms, Reading, Mass. 1982.

(bei Investitionsrechnungen) setzt bei mehrstufigen Investitionsentscheidungen unter Unsicherheit an, die dadurch charakterisiert sind, dass mehrere Entscheidung zeitlich aufeinander folgend getroffen werden müssen. Die einzelnen Entscheidungen sind zustandsabhängig und können auf die Vorteilhaftigkeit der vorangegangenen Entscheidungen Einfluss nehmen. Daher müssen die möglichen Umweltzustände und deren Eintrittswahrscheinlichkeiten gemeinsam mit den alternativen Folgeentscheidungen dargestellt werden, um aus einer Vielzahl unterschiedlicher Entscheidungsfolgen die optimale Entscheidungsfolge herauszufiltern, welche dem risikoneutralen Investor den höchsten Kapitalwert-Erwartungswert bringt. Die graphische Darstellung eines solchen mehrstufigen Investitionsentscheidungsproblems erfolgt mit Hilfe eines Entscheidungsbaumes. Zur Bestimmung der optimalen Entscheidungsfolge wird meist das nach dem Prinzip der dynamischen Optimierung (Optimierung, dynamische) vorgehende Rollback-Verfahren eingesetzt. Dabei wird beim spätesten Zeitpunkt, in dem Entscheidungen zu fällen sind, begonnen. Für jede zu Beginn der letzten Teilperiode gegebene Entscheidungsalternative wird der Kapitalwert-Erwartungswert ermittelt. Die Erwartungswerte jedes Entscheidungsknotens werden miteinander verglichen, und die erwartungswertmaximale Alternative jedes Entscheidungsknotens wird ausgewählt. Diese Vorgehensweise wird solange fortgesetzt, bis man am Beginn der Gesamtplanperiode angelangt ist, und damit die erwartungswertmaximale Entscheidungsalternative erhalten hat. Somit ergibt sich auf Basis des maximalen Kapitalwert-Erwartungswertes die optimale Entscheidungsfolge. Siehe auch Investitionsrechnungen (Investitionsentscheidungen) unter Unsicherheit (mit Literaturangaben).

Literatur: Blohm, H., Lüder, K.: Investition, Schwachstellenanalyse des Investitionsbereichs und Investitionsrechnung, 8. Auflage, München 1995; Götze, U., Bloech,
3. : Investitionsrechnung, Modelle und Analysen zur Beurteilung von Investitionsvorhaben, 4. Auflage, Berlin et al 2004; Heinhold, M.: Investitionsrechnung, Studienbuch, 7. Auflage, München und Wien 1996.

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