Hauptkomponentenanalyse

spezielles Verfahren der multivariaten Analyse, das der Verfahrensgruppe der Faktorenanalyse zuzurechnen ist. Die Hauptkomponenten sind untereinander unabhängige (orthogonale) "Supervariablen", durch die die ursprüngliche Datenmatrix bzw. die ursprüngliche Korrelationsmatrix ( Korrelationsanalyse) vollständig reproduziert werden kann.

Verfahren, das der Faktorenanalyse zugerechnet wird. Es dient dazu, aus einer vorliegenden Korrelationsmatrix Hauptkomponenten (bzw. Faktoren) derart zu extrahieren, dass die von ihnen erklärte Varianz maximiert wird. Im Gegensatz zur Hauptfaktorenanalyse wird bei der Schätzung immer von einer Korrelationsmatrix (Kommunalität gleich eins) ausgegangen. Das mathematische Problem der Haupt- komponentenanalyse ist die Transformation der Korrelationsmatrix der p Ausgangsvari- ablen (xi, ..xp) in eine Menge von neuen (maximalp) hypothetischen Variablen (fi. . . fp), die orthogonal aufeinander stehen. In der Notation der Faktorenanalyse führt dies zu einem Modell der Form
Hauptkomponentenanalyse

mit £ der bekannten Kovarianzmatrix (Korrelationsmatrix) und A den Matrizen der unbekannten Ladungen der Hauptkomponenten. Das Gleichungssystem ist durch die Restriktion eindeutig lösbar, dass die Summe der Quadrate der Ladungen der ersten Hauptkomponente ein Maximum der Varianz erklärt, die zweite Hauptkomponente das Maximum der Restvarianz usw. Das Schätzproblem wird so zu einem Eigenwertproblem, das über die Technik der La- grange Multiplikatoren gelöst werden kann. Jeder Eigenwert entspricht dem Anteil der Gesamtvarianz, der durch eine Hauptkomponente erklärt wird. Der dazugehörige Eigenvektor enthält die Ladungen der Hauptkomponente (des Faktors). Die Größen der Eigenwerte geben Auskunft über die Wichtigkeit der Hauptkomponenten bei Erklärung der Ausgangsmatrix. Die Ladungen entsprechen den Korrelationen der Hauptkomponente mit den Merkmaisvariablen.

Literatur: Uberla, K., Faktorenanalyse, 2. Aufl., Berlin 1971.

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