Schätzverfahren

Zieht man aus einer Grundgesamtheit im Umfang N eine Zufallsstichprobe im Umfang n (n < N), so besteht die Aufgabe eines statistischen Schätzverfahrens üblicherweise darin, vom Stichprobenergebnis ausgehend die unbekannten Parameter der Grundgesamtheit zu schätzen (Repräsentationsschluss). Man unterscheidet folgende zwei Arten von Schätzverfahren: (1) Bei der Punktschätzung wird für den zu schätzenden Parameter nur ein einziger. Schätzwert, ein sog. Punktschätzwert, angegeben. So kann man z. B. als Schätzwert für das unbekannte arithmetische Mittel t der Grundgesamtheit das arithmetische Mittel 5-c der Stichprobe verwenden. Der Schätzwert (lies: "Mü Dach") für .t ist also = k. Der Schätzwert kann auch als konkreter Wert einer Schätzfunktion, hier t = X, betrachtet werden. (2) Bei der Intervallschätzung wird für den zu schätzenden Parameter ein Intervall angegeben, in dessen Grenzen der zu schätzende Parameter mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (Sicherheitsgrad) liegt; dieses Intervall heisst in der Statistik Konfidenzintervall (Schätzintervall, Vertrauensbereich) x_u 5_ _t 5_. x_o oder im Falle eines symmetrischen Intervalls: — e 5_ + e; e wird als absoluter Fehler bezeichnet; die Breite des Konfidenzintervalls 2 e hängt ceteris paribus von dem gewünschten Sicherheitsgrad ab. Beispiel: Eine n = 900 Positionen umfassende Zufallsstichprobe — ohne Zurücklegen gezogen (*Urnenmodell) — aus einem N= 30000 Positionen umfassenden Werkstattlager habe einen durchschnittlichen Wert (ein Stichprobenmittel) von k = 56,87 (DM) und eine Stichprobenstandardabweichung (Varianz) von s = 26,42 (DM) ergeben. (1) Punktschätzwert für den durchschnittlichen Wert aller Lagerpositionen: = 3^-C = 56,87 (DM) Konfidenzintervall bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95% und bei Zugrundelegung der -Normalverteilung als Stichprobenverteilung (z = 1,96); vgl. Rechnung im Kasten. Ob im Falle der vorliegenden konkreten Stichprobe der Mittelwert der Grundgesamtheit tatsächlich im Konfidenzintervall [55,17; 58,57] liegt, ist nicht mit der Wahrscheinlichkeit von 1, d. h. nicht mit absoluter Sicherheit zu sagen. Ein Sicherheitsgrad von 95% heisst aber immerhin, dass nur in (100-95)% = 5% aller nach dem gleichen Modell durchgeführten Zufallsstichproben ausserhalb des Konfidenzintervalls liegt. In analoger Weise zum arithmetischen Mittel lassen sich auch andere Parameter der Grundgesamtheit, wie z.B. -Varianz ^o2 oder Anteilswert 0 schätzen. Literatur: Bleymüller, J.IGehlert, G./Gülicher, H., Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, 8. Aufl., München 1992.

Ziel einer Stichprobenerhebung (Stich-vrobenverfakren) ist es, von dieser auf die Verhältnisse in der Grundgesamtheit zu schließen (vgl. Hüttner, 1979, Schätzverfahren 113). Das aus der Stichprobe ableitbare Ergebnis kann jedoch nicht ohne weiteres aul die Grundgesamtheit übertragen werden, da es durch Fehler verfälscht sein kann. Neben systematischen Fehlern können Zufallsichler auftreten (Erhefomgs/ehler), die darauf zurückzuführen sind, dass lediglich eine Teilerhebung durchgeführt wurde. Systematische Fehler können nicht wie Zufallsfehler bei der Schätzung der Parameter der Grundgesamtheit berücksichtigt werden.

Unter Berücksichtigung des Zufallsfehlers ist eine Intervallschätzung bestimmter Größen der korrespondierenden Grundgesamtheit möglich. Ausgehend von dem Ergebnis der Stichprobe wird ein so genanntes Konfidenzintervall angegeben, in dem der Wert des zu schätzenden Parameters der Grundgesamtheit mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit liegt (vgl. Bleymül-ler/Gehlert/Gülicher, 2001, Schätzverfahren 85).

Die Schätzung von Werten der Grundgesamtheit durch Stichprobenergebnisse oder umgekehrt geschieht mit Hilfe von Messgrößen wie Mittelwerten und Streuungsmaßen, die die Verteilungen kennzeichnen.

Für die Marktforschung vorrangig von Interesse ist der erste Fall, der indirekte Schluss. Er verwendet die Stichprobenkennwerte, um die unbekannten Parameter der Grundgesamtheit zu schätzen (Infe-renz). Ein Beispiel für eine solche Schätzung in Form eines Konfidenzintervalls ist eine Aussage folgender Form: »Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegen die durchschnittlichen Ausgaben für Grundnahrungsmittel bei Familien mit zwei Kindern zwischen x DM und y DM monatlich.«

In der Wirtschaftssoziologie: Verfahren oder Modelle, die aufgrund der Stichprobenwerte bestimmte Grössen der Grundgesamtheit abschätzen oder annähern. Handelt es sich bei der Schätzung um Annäherung an Konstante der Grundgesamtheit (Mittelwerte, Anteile, Varianz), so spricht man von Punkt- oder Parameter-Schätzung. Zieht man den Stichprobenfehler des Schätzwertes mit in Betracht und bestimmt ein Intervall, innerhalb dessen der Wert der Grundgesamtheit mit bestimmter Wahrscheinlichkeit (Konfidenzintervall) liegt, dann spricht man von Intervall-Schätzung. Es ist in der Regel naheliegend, die Parameter einer Zufallsstichprobe als Schätzwerte für die Werte der Grundgesamtheit aufzufassen. An die Schätzfunktionen werden mehrere Anforderungen gestellt: a) sie ist erwartungstreu, wenn der Mittelwert der Schätzwerte möglicher Stichproben aus der Grundgesamtheit gleich dem Wert der Grundgesamtheit ist; b) sie ist konsistent, wenn der Mittelwert der Differenzen zwischen Schätzwert und Wert der Grundgesamtheit bei wachsendem Stichprobenumfang gegen Null strebt, oder anders formuliert, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Schätzwert um weniger als einen beliebig kleinen positiven Wert vom wahren Wert unterscheidet, gegen 1 strebt; c) sie ist wirksam oder effizient, wenn der Schätzwert eine endliche Varianz besitzt und keine andere Schätzfunktion einen Wert mit kleinerer Varianz ergibt. Ein wichtiges Schätzverfahren stellt die Maximum-Likelihood-Methode, die Methode der maximalen Mutmasslichkeit dar.

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