Eulersches Theorem

Das Eulersche Theorem, auch als adding-upTheorem bekannt, besagt, daß bei vollständiger Konkurrenz die Kosten der Produktionsfaktoren gleich dem Erlös der Produkte sind, so daß kein Gewinn entsteht.

Lehrsatz über eine Eigenschaft homogener Funktionen. Eine Funktion f(xi, x₂) mit Xi und x₂ als Argumenten ist homogen vom Grad k, wenn gilt: f(Xxi,Xx₂) ~$f(x_l5x₂); X ist eine beliebige positive Zahl und k eine Konstante, welche die sog. Skaleneigenschaften der Funktion f bestimmt. Durch Differenzieren nach X an der Stelle X =* 1 erhält man das Euler\'sehe Theorem: öf/öxi + öf/öx₂ = k f (xi, x₂). Diese Vorgehensweise lässt sich direkt auf homogene Funktionen mit mehr als zwei Argumenten übertragen. Das Euler\'sche Theorem erlaubt interessante Folgerungen insb. im Hinblick auf die Grenzproduktivitätstheorie der Verteilung. Interpretiert man f als Produktionsfunktion, dann sind x_x und x₂ Produktionsfaktoren und öf/öxx bzw. öf/öx₂ deren physische Grenzprodukte; k charakterisiert die Skalenerträge: bei k = 1 liegen konstante Skalenerträge vor, k 1 bzw. k < 1 bedeuten zunehmende bzw. abnehmende Skalenerträge. Unterstellt man nun Gewinnmaximierung unter Konkurrenzbedingungen, so dass die reale Entlohnung jedes Faktors mit dessen Grenzprodukt übereinstimmt, dann gibt die linke Seite der zweiten Gleichung die gesamten Faktorkosten wieder. Diese stimmen mit dem Produktionsergebnis überein, falls die Produktionsfunktion konstante Skalenerträge aufweist (Adding-up-Theorem). Das Gesamtprodukt wird durch die Entlohnung der Faktoren nicht ausgeschöpft, wenn abnehmende Skalenerträge vorliegen, und bei zunehmen- den Skalenerträgen reicht das Produkt zur Entlohnung der Faktoren nicht aus. Diese Eigenschaften implizieren, dass die Produktionsfunktionen der einzelnen Unternehmen zumindest lokal konstante Skalenerträge aufweisen müssen, wenn sie ein allgemeines Gleichgewicht bei vollkommener Konkurrenz erlauben sollen. Liegen ständig abnehmende Skalenerträge vor, dann gehen mit sinkender Firmengrösse die Durchschnittskosten zurück, und die gleichgewichtige Anzahl der Firmen ist nicht erklärt bzw. geht gegen Unendlich. Firmen mit strikt zunehmenden Skalenerträgen machen unter Konkurrenzbedingungen stets Verluste, so dass sie nur am Markt bleiben, wenn sie Marktmacht geniessen oder subventioniert werden. Literatur: Allen, R. G. D., Mathematik für Volksund Betriebswirte, Berlin 1956. Henderson, J. MJ Quandt, R. E., Mikroökonomische Theorie, 5. Aufl., München 1983.

(= adding-up-Theorem) auf Leonhard EULER zurückgehendes Theorem, das folgende Beziehung für eine linear-homogene Funktion y = y (x1, x2) liefert:
EULERsches Theorem

Interpretiert man obige Funktion als Produktionsfunktion, so heißt dies: Die Summe der mit den jeweils eingesetzten Mengen multiplizierten Grenzprodukte
EULERsches Theorem

der Faktoren ist gleich der Ausbringungsmenge. Werden die Anbieter der Produktionsfaktoren mit ihren jeweiligen physischen Grenzprodukten entlohnt, so wird die produzierte Menge gerade ausgeschöpft. Dieser Zusammenhang spielt in der - Grenzproduktivitätstheorie der Verteilung eine wichtige Rolle.

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