Zufallsvariable

Die Zufallsvariable ist eine Variable, deren Ausprägungen vom Zufall abhängen. Der Wertebereich dieser Ausprägungen ist die Menge der reellen Zahlen.

In der Wirtschaftssoziologie: variate, random variable, Bezeichnung der Statistik für eine veränderliche Grösse, die Werte aus einer festgelegten Menge von Werten mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten annimmt, die den Werten zugeordnet sind.

Variable, deren Ausprägungen (Realisationen) vom Zufall abhängen, wobei der Wertebereich dieser Ausprägungen die Menge der reellen Zahlen ist. Zufallsvariablen, die nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Ausprägungen besitzen, heissen diskrete Zufallsvariablen; im Gegensatz zu ihnen können die stetigen (kontinuierlichen) Zufallsvariablen zumindest in einem bestimmten Bereich der reellen Zahlen jeden beliebigen Wert annehmen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion (Wahrscheinlichkeitsverteilung) einer diskreten Zufallsvariablen X gibt an, mit welchen Wahrscheinlichkeiten alle möglichen Werte (Realisationen, Ausprägungen) x_i (i = 1, 2, . ..) auftreten werden; es ist also Die Verteilungsfunktion F (x) einer Zufallsvariablen X ist die Funktion, welche die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass X höchstens den Wert x annimmt; es ist also F (x) = W (X x). Liegt eine stetige Zufallsvariable X vor, dann ist die Verteilungsfunktion dieser Zufallsvariablen eine stetige Funktion, deren erste Ableitung als Dichtefunktion (Dichte) f(x) bezeichnet wird; es ist also f (x) = F\'(x) und umgekehrt Literatur: Bleymüller, J.IGehlert, G./Gülicher, H., Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, 8. Aufl., München 1992.

Eine Zufallsvariable X ist das numerische Ergebnis eines Zufallsvorgangs (Wahrscheinlichkeitsrechnung). Sie kann endlich oder unendlich viele Werte auf der Zahlengeraden annehmen. Die Verteilungsfunktion F(x) einer Zufallsvariablen X gibt für jede Zahl x die Wahrscheinlichkeit an, mit der X den Wert x nicht übersteigt. Wichtigste Parameter einer Zufallsvariablen X sind ihr Erwartungswert und ihre Varianz. Falls X nur endlich viele Werte x1 , xk mit Wahrscheinlichkeiten pi, , pk annimmt, ist sein Erwartungswert E[X] = Ek x.p., also das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der Zufallsvariablen. Die Varianz V [X ist die - ebenfalls mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete - quadrierte Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert: V[X] = (x. — E[X])2 pi . Der Erwartungswert charakterisiert die Lage, die Varianz die Streuung einer Zufallsvariablen. Die Quadratwurzel aus der Varianz heisst Standardabweichung, CY[X]= IV1X . Siehe auch Statistik (mit Literaturangaben).

Um eine numerische Analyse von Zufallsvorgängen durchführen zu können, benötigt man eine Übertragung des Ergebnisses des Zufallsvorgangs auf die Menge der reellen Zahlen. Man bezeichnet dabei jede Abbildung X der Ergebnismengedes Zufallsprozesses auf die reellen Zahlen als eine Zufallsvariable. Unter einer Realisation x der Zufallsvariablen X versteht man den Wert, den X bei der Durchführung eines Zufallsexperimentes annimmt. Liefert ein Zufallsprozeß je Experiment eine Beobachtung, so bezeichnet man die zugehörige Zufallsvariable als eindimensionalen Variable. Werden simultan immer m Beobachtungen getätigt, spricht man von einer m-dimensionalen Zufallsvariablen X = (Xi,.. ,,Xm) [Bam- berg/Baur(1989),S.93f.].

Literatur: Bamberg, G.; Baur, F., Statistik, Aufl., München, Wien 1989.

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