Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit des Eintritts von Daten beruht auf Annahmen, die aufgrund unvollständiger Informationen über die zukünftige Entwicklung gemacht werden. Es lassen sich objektive und subjektive Wahrscheinlichkeiten unterscheiden.

Die objektiven Wahrscheinlichkeiten liegen vor, wenn mit Hilfe von Vergangenheitswerten statistische Untersuchungen vorgenommen werden können. Die objektiven Wahrscheinlichkeiten werden auch als statistische Wahrscheinlichkeiten bezeichnet. Objektive Wahrscheinlichkeiten von Umweltbedingungen sind für Entscheidungsituationen unter Risiko charakteristisch. Knight spricht in diesem Fall von einer meßbaren Ungewißheit.

Die subjektiven Wahrscheinlichkeiten werden bei Entscheidungssituationen unter Ungewißheit angenommen. Es liegen keine objektiven Erkenntnisse über mögliche Eintrittswahrscheinlichkeiten vor. Knight spricht in diesem Fall von einer nicht meßbaren Ungewissheit

Was im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung unter Wahrscheinlichkeit zu verstehen ist, darüber besteht erkenntnistheoretisch keine einheitliche Auffassung. Der ältere und klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff (auch objektive a priori bzw. logische Wahrscheinlichkeit genannt) geht zurück auf P. S. Laplace (1749-1827) und definiert die Wahrscheinlichkeit eines gewissen zufälligen Ereignisses gleich dem Quotienten aus der Zahl diesem Ereignis günstiger Fälle und der Zahl gleichmöglicher Fälle. Diese Definition setzt voraus, daß man a priori die Anzahl der gleichmöglichen Ereignisse kennt, und ist wegen dieser Voraussetzungen heftig kritisiert worden. Diese Kritik führte einmal zur subjektivistischen Interpretation des Wahrscheinlichkeitsbegriffes, wonach die Wahrscheinlichkeit ein Maß für den Überzeugungsgrad des erkennenden Subjektes ist (subjektive a priori Wahrscheinlichkeiten). Zum anderen wird durch R. v. Mises (1883-1953) die klassische a priori
Wahrscheinlichkeit durch eine (objektive) a posteriori Wahrscheinlichkeit ersetzt. Mises definiert die Wahrscheinlichkeit als Grenzwert, gegen den die relative Häufigkeit für ein zufälliges Ereignis in einer unendlich langen Versuchsreihe strebt. Die Mises’sche Definition geht somit von einer unendlichen Folge von Beobachtungen aus, einem sogenannten Kollektiv. Sie wird daher auch als Limes-definition, statistische Wahrscheinlichkeit oder Häufigkeits-w&iTschein-lichkeit bezeichnet. Da es denkbar ist, daß Versuchsreihen auftreten, für die kein Grenzwert der relativen Häufigkeit existiert, ist es heute üblich, die mathematische Behandlung von Wahrscheinlichkeiten auf ein auf Kolmogoroff (1933) zurückgehendes Axiomensystem zu gründen. Diese Axiome legen die mathematischen Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten fest; sie geben aber keine Definition der Wahrscheinlichkeit und sagen nicht, wie man zum numerischen Wert einer bestimmten Wahrscheinlichkeit gelangt. Nach Kolmogoroff heißt eine auf ein System von zufälligen Ereignissen definierte Funktion P Wahrscheinlichkeit., wenn sie folgende Axiome erfüllt:
a) Die Wahrscheinlichkeit P (A) eines Ereignisses A ist eine eindeutig bestimmte, nichtnegative reelle Zahl in den Grenzen 0 < P(A) < 1,
b) das sichere Ereignis besitzt die Wahrscheinlichkeit 1 und c) für zwei unverträgliche Ereignisse A, B (also A (1 B = 0) gilt P (A +
b) = P(A) + P(B).

Mass zur Quantifizierung der Sicherheit bzw. Unsicherheit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses im Rahmen eines —Zufallsexperiments. Wichtige Wahrscheinlichkeitsbegriffe sind: (1) Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (Laplacesche Definition): Hier ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, also W (A), definiert als (2) Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff: Hier ist W (A) als Grenzwert der relativen Häufigkeit f_n (A) des Auftretens von Ereignis A in n Versuchen definiert (Häufigkeitsverteilung) (3) Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff: Lassen sich, wie etwa bei Entscheidungssituationen im Wirtschaftsleben, die Wahrscheinlichkeiten nicht aus Zufallsexperimenten ableiten, so werden sie subjektiv geschätzt (Expertenbefragung, Delphi-Methode); sie stellen damit genau genommen nur vernünftige Glaubensaussagen dar. (4) Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (nach A. N. Kolmogorov): Er erklärt nicht das Wesen der "Wahrscheinlichkeit", sondern definiert lediglich ihre mathematischen Eigenschaften anhand folgender drei Axiome: 1. Axiom: Die Wahrscheinlichkeit W (A) eines Ereignisses A ist eine eindeutig bestimmte, reelle, nicht negative Zahl, die der Bedingung 0 5_ W (A) 1 genügt. 2. Axiom: Bezeichnet S das Ereignis, das alle Elementarereignisse dieses —.Zufallsexperiments enthält, dann ist S das sogenannte sichere Ereignis mit W (5) = 1. 3. Axiom: Schliessen sich zwei Ereignisse A und B gegenseitig aus, so gilt W(A u B) = W(A) + W(B); d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A oder B eintritt, ist die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten (Additionssätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung). Literatur: Bosch, K., Elementare Einrührung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, 5. Aufl., Wiesbaden 1986.

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