Maximale Cliquen

Ist eine nach einem bestimmten Distanzindex definierte Distanz der Form d(i,j) bekannt und eine Oberschranke d vorgegeben, so bezeichnet man eine Teilmenge C einer Objektmenge N (Clusteranalyse) als Clique, wenn die Bedingung

erfüllt ist. Die Clique heißt maximal, wenn durch jedes Hinzufügen eines weiteren Objektes zu C die Bedingung verletzt würde. Maximale Cliquen können folgendermaßen konstruiert werden:

bis kein weiteres Objekt mehr gefunden werden kann. Man erhält eine maximale Clique Ci,. Das Ergebnis ist jedoch nicht eindeutig, es hängt von der Reihenfolge der ausgewählten Objekte ab. Verfahrens Variante der Faktorenanalyse, die unter Verwendung der Maximum- Likelihood Methode die Parameter eines Faktoren-Modells schätzt. Gesucht werden die Modellparameter (A, ¥), die mit größter Wahrscheinlichkeitdie Kovarianzmatrix der Daten erzeugt haben. Die Methode ist anwendbar, wenn die Ausgangsdaten x einer multivariaten Normalverteilung (mit einem Mittelwertvektor von Null) folgen. Die Stichprobenkovarianzmatrix S hat dann eine sog. Wishart-Verteilung. Unter Vernachlässigung des Mittelwertvektors ergibt sich die Likelihood-Funktion L über
Maximale Cliquen

wobei Z für die Modellkovarianzmatrix steht und S für die Stichprobenkovarianzmatrix. Die Funktion tr bezeichnet die Spur und n ist der Stichprobenumfang minus
1. Die Likeli- hood-Faktorenanalyse wird als Funktion der Elemente von Z, d. h. der Faktorladungsma- trix Aund Residualvarianzen betrachtet. Die ML-Faktorenanalyse ist die einzige mathematisch exakt begründete Methode der Faktorenanalyse. Gegenüber anderen Methoden führt sie Hypothesentests über die Güte und Anzahl der zugrundeliegenden Faktoren durch. Uber eine Chi2-Teststati- stik, die auf einem Likelihood-Quotienten- Test beruht, kann geprüft werden, ob die Anzahl der Faktoren ausreicht, die Datenstruktur hinreichend zu erklären oder ob weniger oder mehr Faktoren nötig sind. Das Verfahren führt gleichzeitig Signifikanztests fürdie Parameterschätzer durch.

Literatur: Hildebrandt, Z..; Trommsdorff, V., Konfirmatorische Analysen in der empirischen Forschung, in: Forschungsgruppe Konsum und Verhalten (Hrsg.), Innovative Marktforschung, Würzburg, Wien 1983, S. 139-160. Lawley, D. N.; Maxwell, A.E., Factor Analysis as a Statistical Me- thod, London 1971.

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