exponentielle Glättung

(exponential smoothing) Methode zur Erstellung kurzfristiger Prognosen. Sie wurde von Robert Goodell Brown (1963) entwickelt und wird insb. im Rahmen betriebswirtschaftlicher Problemstellungen vielfältig verwendet. Bezeichnet man die Zeitreihenwerte yi, y₂,..., y_t, ..., yx» so gewinnt man geglättete Werte mit Hilfe der Rekursionsformel y_t-i = ay,-i + (l-ajyt-i-j wobei 0 < a < 1; d.h. man gibt der jeweils letzten Beobachtung das Gewicht a und der Schätzung (Glättung) y_t_i der Vorperiode das Gewicht 1-a. Durch schrittweises Einsetzen erhält man: ft = ay_t + a(l-a)y_t_i + a(l-a)²y_t_₂ + ... Je grösser a ist, desto bedeutsamer sind die Werte der jüngsten Vergangenheit. Mit zunehmender Zeitverschiebung nimmt der Gewichtsfaktor a exponentiell ab; er ist frei wählbar und gibt die Sensitivität der Glättung an. Will man eine Prognose für die Periode t+1 ableiten, so verwendet man dazu die Bestimmungsgleichung: y_t+i = y_t wobei y_t+1 den zu prognostizierenden Wert für die Periode t+1 darstellt. Dieses Verfahren - auch exponentielle Glättung 1. Ordnung genannt - sollte grundsätzlich nur auf konstante Prozesse, d.h. bei Wertereihen angewendet werden, die etwa parallel zur Zeitachse verlaufen. Liegt dagegen ein Trend vor, so führt eine Extrapolation des Trends der Zeitreihe zu einer verzögerten Reaktion. Diese Probleme sind durch die Anwendung der exponentiellen Glättung höherer Ordnung zu vermeiden. So besteht das Modell der exponentiellen Glättung 2. Ordnung aus zwei Gleichungen:

Die erste Gleichung ist identisch mit der Rekursionsformel für die exponentielle Glättung 1. Ordnung; in die zweite Gleichung werden die gemäss der ersten Gleichung berechneten Werte yi¹⁾ eingesetzt und die Werte für y{²⁾ berechnet. Der Prognose-Ansatz für das Modell exponentieller Glättung 2. Ordnung lautet: yt+r = a_t + ss_t-r mit r = Prognose-Horizont z. B. r = 1 heisst Prognose für einen Monat oder ein Quartal Literatur: Broivn, R. G., Smoothing, Forecasting and Prediction of Discrete Time Series, New Jersey 1983. Weber, K., Wirtschaftsprognostik, München 1990.

Bei der exponentiellen Glättung handelt es sich um ein Prognoseverfahren, mit dem Zukunftswerte auf der Basis vergangener Werte vorhergesagt werden.

Dabei werden die Vergangenheitswerte mit einem sog. Glättungsfaktor gewichtet, der exponentiell abnimmt je weiter man in die Vergangenheit zurückgeht. Es werden dadurch die jüngeren Vergangenheitswerte stärker bewertet.

Man unterscheidet zwischen exponentieller Glättung der 1. Ordnung und der 2. Ordnung.

ist eine quantitative Prognosemethode. Sie ist vergleichbar mit der Methode der gleitenden Durchschnitte, allerdings werden die Daten der jüngeren Perioden der Vergangenheit stärker gewichtet als die früheren Perioden. Anwendung findet diese Methode z.B. im Rahmen der Material- und Fertigungsdisposition.

univariates Prognoseverfahren, das 1959 von Brown entwickelt wurde und auf zwei Überlegungen beruht: 1) Berücksichtigung des aktuellen Prognosefehlers bei der folgenden Prognose, 2) Vergangene Zeitreihenwerte sollen gem. ihres „Alters“ für die Prognose ein abnehmendes Gewicht erhalten. Bezeichnen wir mit xt und xt den wahren bzw. prognostizierten Zeitreihenwert für die Periode t und mit et den Prognosefehler dieser Periode, so setzt sich nach
(1) der Prognosewert für t + 1 aus dem alten Prognosewert xtund einem Bruchteil ades Prognosefehlers et = xt - xt wie folgt zusammen:
Exponentielle Glättung

Durch Umformulierung ergibt sich die Grundgleichung der exponentiellen Glättung:
Exponentielle Glättung

Man kann hieraus die Gleichung ableiten (vgl. Hansmann, 1983, S. 29): aus der hervorgeht, dass die Gewichte a(1 - a)\' der Zeitreihenwerte xt-i mit wachsendem Alter exponentiell abnehmen, wie nach Überlegung
(2) gefordert. Das Verhalten des Prognoseverfahrens wird von der Wahl des Glättungsparameters «bestimmt. Hohe Werte von «führen zu niedrigerer Gewichtung der Vergangenheitswerte (was bei einem Strukturbruch angemessen wäre), während niedrige a-Werte den letzten Zeitreihenwert gegenüber der „Vergangenheit“ vernachlässigen (bei einem einmaligen „Ausrutscher“ angebracht). In der Praxis werden üblicherweise a-Werte zwischen 0,05 und 0,25 angewendet. Das hier beschriebene Grundmodell der exponentiellen Glättung ist nicht für die Prognose geeignet, wenn die zugrunde liegende Zeitreihe einen Trend aufweist. In diesem Fall verwendet man die exponentielle Glättung zweiter Ordnung (bei linearem Trend), die die Prognosewerte noch einmal glättet und zu folgender Prognosegleichung führt (vgl. Hansmann, 1983, S. 34 ff.):

Die exponentielle Glättung wird in der Praxis häufig angewandt, da die Verfahrensschritte leicht durchschaubar sind, das Verfahren leicht programmierbar ist und durch einen einzigen Parameter («) gesteuert werden kann. Dem stehen als Nachteile gegenüber, dass außer der Zeit kein weiterer Einflußfaktor berücksichtigt wird, der Glättungsparameter a nicht objektiv bestimmt werden kann, und die exponentielle Gewichtung der Zeitreihenwerte nicht immer problemangemessen ist.

Literatur: Brown, R. G., Smoothing, Forecasting and Prediction of Discrete Time Series, Engle- wood Cliffs 1963. Hansmann, K.-W., Kurzlehrbuch Prognoseverfahren, Wiesbaden 1983.

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