Warteschlangenmodelle

Warteschlangenmodelle sind der Ausgangspunkt und die Grundlage der Warteschlangentheorie, mit deren Hilfe das Verhalten von Bedienungssystemen beschrieben wird. Das Basismodell ist in der Abbildung dargestellt.
Wenn ein Kunde in das Bedienungssystem eintritt, wird er in die Warteschlange vor der Bedienstation eingereiht. Ist die Warteschlange leer, so wird der Kunde sofort bedient und verläßt das System wieder. Zur Analyse eines Warteschlangensystems müssen charakteristische Größen des Systems bekannt sein, unter anderem Aussagen über das An-kunfts und Bedienungsverhalten, die Warteschlangendisziplin und die Anzahl der Bedienungsstationen. Eine Notation zur Beschreibung von Eigenschaften eines Warteschlangensystems, die sich allgemein durchgesetzt hat, wurde von Kendall entwickelt. Es hat sich eingebürgert, nur die 3 wichtigsten Eigenschaften anzugeben. Dies sind:
A = die Verteilung der zwischenankunftszeit B = die Verteilung der Bedienzeit C = die Anzahl der Bedienstationen. Die Verteilung der zwischenankunftszeit und der Bedienzeit können z. B. sein: Exponentialverteilung, konstante Verteilung, Erlang-k-Verteilung.
Aus den Verteilungsfunktionen werden die mittleren Ankunftsraten und die mittleren Bedienungsraten ermittelt. Die mitdere Bedienungsrate ist der Kehrwert der mittleren Bearbeitungsdauer. Aus den gegebenen Modelldaten lassen sich u. a. folgende Ergebnisse ermitteln:
mittlere Wartezeit eines Kunden in der Warteschlange,
mittlere Aufendialtszeit eines Kunden im System,
mittlere Warteschlangenlänge,
mittlere Anzahl der im System befindlichen Kunden.
Der Zustand eines Warteschlangensystems erreicht unter der Voraussetzung, daß die Ankunftsrate kleiner als die Bedienrate ist, ein Gleichgewicht. Ist die Ankunftsrate größer als die Bedienrate, so »explodiert« das System, d. h. die Warteschlange wird immer länger.
Warteschlangenmodelle lassen sich analytisch oder mit Hilfe von Simulationsmodellen lösen. In der Praxis auftretende Warteschlangenprobleme (z. B. Ablaufplanung, Verkehrsplanung) sind meist so komplex, daß sie analytisch nicht mehr lösbar sind.

In der Wirtschaftssoziologie: mathematische Modelle, in denen das einem stochastischen Gesetz folgende Eintreffen von Elementen („Kunden“) an einer Bedienungsstation betrachtet wird. Fragen, die mit Hilfe der Warteschlangenmodelle beantwortet werden sollen, sind u.a.: Welche mittlere Warteschlange (queue) wird sich bei einer gegebenen Kapazität der Bedienungsstation und einer bestimmten (beobachteten) Verteilung des Eintreffens von Kunden bilden? In welcher Zeit wird sich eine vorliegende Warteschlange wieweit reduzieren, wenn weitere Stationen eingerichtet werden? Die Warteschlangenmodelle lassen sich bei einer Vielzahl von Planungsaufgaben einsetzen.

Warteschlangensysteme können als Intput-Output-Systeme beschrieben werden und bestehen aus einem Wartebereich, in dem Personen, Fahrzeuge Aufträge etc. eintreffen und einem Bedienungsbereich, in dem die Abfertigung dieser Einheiten an einer oder mehreren Bedienungsstellen erfolgt. Die von den ankommenden Einheiten gestellten Forderungen auf Bedienung bilden den Eingangsstrom. Eine Forderung des Eingangsstroms wird sofort bedient (mindestens eine Bedienungsstelle ist frei) oder in die Warteschlange eingereiht (alle Bedienplätze sind besetzt, mindestens ein Warteplatz ist frei) oder abgewiesen (alle Bedien- und Warteplätze sind besetzt). Die Menge der abgefertigten (bedienten) Einheiten bildet dann den Ausgangsstrom. Siehe auch Operations Research (mit Literaturangaben).

Literatur: Neumann, K., Morlock, M.: Operations Research, 2. Auflage, Carl Hanser Verlag München Wien 2002; Schassberger, R.: Warteschlangen, Springer Berlin 1973; Taha, H.A.: Operations Research — An Introduction, 7. Aufl., Prentice Hall New York 2003. Internetadressen: http://www.advanced-planning.de/advancedplanning-127.htm

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