Stabilitätsbedingungen eines Gleichgewichts

stellen sicher, dass Abweichungen von einem Gleichgewicht (im Sinne eines stationären Zustands) einen Anpassungsprozess auslösen, der zu dem Gleichgewicht zurückführt. Zu unterscheiden ist dabei zwischen globaler und lokaler Stabilität. Ein Gleichgewicht heißt global stabil, falls beliebig große Abweichungen einen gegen dieses Gleichgewicht konvergierenden Prozess auslösen; es heißt lokal stabil, wenn nur für hinreichend kleine Abweichungen von diesem Gleichgewicht ein zu ihm zurückführender Anpassungsprozess in Gang kommt. Größere Abweichungen von einem lokal stabilen Gleichgewicht können daher einen Prozess induzieren, der auf Dauer von dem betrachteten Gleichgewicht fortführt. Globale Stabilität impliziert stets auch Eindeutigkeit des Gleichgewichts, während im Falle multipler Gleichgewichte mehrere davon lokal stabil sein können. Zu beachten ist, dass die Stabilität eines Gleichgewichts nur im Rahmen eines dynamischen Modells untersucht werden kann und dass unterschiedliche Annahmen über die Art der Anpassungsprozesse auch zu unterschiedlichen Aussagen über die Stabilität eines betrachteten Gleichgewichts führen können. Von der Stabilität eines Gleichgewichts zu unterscheiden ist die Stabilität eines dynamischen Systems (bzw. der Prozesse eines solchen Systems). Ein dynamisches System (dargestellt durch eine Menge von Annahmen über den Verlauf von Prozessen) heißt z.B. global stabil, wenn jeder in dem System zugelassene Prozess gegen ein Gleichgewicht konvergiert. Es müssen aber nicht unbedingt alle Prozesse gegen ein und dasselbe Gleichgewicht konvergieren. Ein dynamisches System kann daher global stabil sein, obwohl einige seiner Gleichgewichtszustände instabil sind. Ein wichtiges Beispiel eines dynamischen Systems stellt das Preis-Tätonnement im walrasianischen Modell des allgemeinen Marktgleichgewichts dar (kompetitives Gleichgewicht). Bezeichnet zg(p) die aggregierte Überschußnachfrage nach Gut g beim Preisvektor p = (pI,p2,...,po), wobei G die Anzahl der Güter ist, so wird im Tätonnement-Modell angenommen, dass ein Auktionator in jedem Zeitpunkt t, beginnend mit t = 0, einen Preisvektor p(t) ausruft, die Wirtschaftssubjekte ihm daraufhin ihre individuellen Überschußnachfragen bekanntgeben und dass der Auktionator im Zeitpunkt t den Preis pg eines Gutes g nur dann ändert, wenn zg(p(t)) *0. Sind alle Preise im Zeitpunkt t positiv, so wird der Preis für Gut g erhöht, falls z (p(t)) > 0, gesenkt, falls zg(p(t)) <
0. denauer wird angenommen, dass es stetige, vorzeichenerhaltende Funktionen Fg(.) gibt, so dass
Stabilitätsbedingungen eines Gleichgewichts

Ist die aggregierte Überschußnachfragefunktion z(.) stetig, homogen vom Grade Null (Homogenität), genügt sie dem WALRASschen Gesetz; und sind alle Güter - Bruttosubstitute, so ist der beschriebene Tätonnement-Prozess global stabil, d.h., jede mit positivem Anfangswert p
(0) beginnende Lösung der obigen Differentialgleichung konvergiert für t-ao gegen ein Gleichgewicht, d.h. gegen einen solchen Preisvektor p*, für den z(p*) =
0. In der üblichen Interpretation des Tätonnement-Modells wird angenommen, dass Transaktionen erst dann stattfinden, wenn ein Gleichgewicht erreicht ist (d.h., Angebote und Nachfragen außerhalb des Gleichgewichts sind nicht bindend, und es erfolgt sog. »recontracting"). Es sind daher Modifikationen des Tätonnement-Modells vorgeschlagen worden, in denen die Möglichkeit von Transaktionen auch bei »falschen« (d.h. im walrasianischen Sinne ungleichgewichtigen) Preisen berücksichtigt wird. Die Theorie solcher Non-Tätonnement-Prozesse steht dabei in engem Zusammenhang mit der Theorie der Rationierungsgleichgewichte. A.V. Literatur: Fisher, F.M. (1983). Fisher, F.M. (1976). Arrow, K.J., Hahn, F.H. (1971)

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