Box-Jenkins-Modell

stochastische Ansätze der Zeitreihenanalyse und -prognose. Die
Zeitreihe wird dabei als stochastischer Prozeß interpretiert. In Box-
Jenkins-Modellen werden "autoregressive" und "Moving Average"-Ansätze zur
Darstel­lung stationärer (d.h. im Zeitablauf konstan­ter) Prozesse miteinander
verknüpft. Der Grundansatz eines autoregressiven Prozesses p-ter Ordnung
(AR(p)) lautet:

wobei a0, a1? a2 ... ap die
zu schätzenden Para­meter sind und Ut eine Störvariable dar­stellt,
d.h. eine Zufallsvariable mit zeit­stabilem Erwartungswert und konstanter
Varianz bzw. verschwindender Kovarianz (,,white-noise"-Prozeß). Die Schätzung
der Parameter erfolgt im allgemeinen mit Hilfe der
Methode der kleinsten Quadrate (Re­gressionsanalyse). Die Ordnung p wird auf­grund
eines Vergleichs der Folge von empi­rischen Korrelationskoeffizienten der um k
Perioden verschobenen Zeitreihenvariablen (Stichprobenkorrelogramm) und dem für
sta­tionäre Prozesse bekannten theoretischen Korrelogramm bestimmt.

Der autoregressive Ansatz p-ter Ordnung (AR (p))
kann dadurch erweitert werden, daß für Ut ein sog. "Moving
Average"-Prozeß der Ordnung q formuliert wird:

Eine Kombination des AR(p)-Prozesses mit einer
Störvariablen, die einen MA(q)-Prozeß bildet, wird als ARMA(p,q)-Prozeß
bezeich­net. So ist der Ansatz

als ARMA(1,1)-Prozeß zu kennzeichnen. Die
Annahme der Stationarität, die im wesentli­chen der Annahme der
Strukturkonstanz in der Ökonometrie entspricht, ist restriktiv, da i. d. R.
ökonomische Zeitreihen z. B. trend­behaftet und daher nicht stationär sind.
Viele Zeitreihen können durch Bildung von Dif­ferenzen in stationäre Prozesse
überführt wer­den. Wird nun eine Bereinigung der Trendein­flüsse vorgeschaltet,
d.h. werden die ersten bzw. zweiten oder allgemein die d-ten Diffe­renzen
gebildet, so liegt nach Box/Jenkins ein
"Autoregressiver Integrierter Moving Aver­age" ARIMA(p,d,q)-Prozeß
vor. Die Behand­lung von ARIMA-Modellen ist somit ein ite­rativer Prozeß der
Identifikation der Parame­ter p, d, q zur Schätzung und diagnostischen
Auswertung von stochastischen Zeitreihen.

Literatur: Box, G. E.
PJJenkins, G. M., Time Series Analysis, Forecasting and Control, San Francisco u.a. 1970.
Granger, C. WJNewbold, R, Forecast­ing Economic
Time Series, New York u.a. 1977. Pindyck, R. S./Rubinfeld, D. L., Econometric Mo­dels and Economic Forecasts, 2.
Aufl., Auckland

u.a. 1985.

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