Kruskal-WallisTest

Das bekannteste nichtparametrischeTest- verfahren zum Vergleich von k (k > 2) unabhängigen Stichproben stellt der Kruskal- WallisTest dar. Für verbundene Stichproben sei auf den Friedman Test verwiesen. Die Stichprobenumfänge ni der k Stichproben können dabei verschieden groß sein. Der Test bietet sich bspw. zu Überprüfung der Gleichheit der Altersstruktur der Kunden von k Filialen an. Der Test setzt ferner mindestens ordinale Daten innerhalb der Stichproben voraus. Wichtige Annahmen sind außerdem die Unabhängigkeit der Stichprobenvariablen Xii,.. ., Xin , i = 1,.. .,k, die eine stetige Verteilungsfunktion Fi besitzen. Die zu überprüfenden Hypothesen lauten wie folgt:
Kruskal-WallisTest

Außerdem ist in Hi auszuschheßen, dalS alle 9, identisch ungleich Null sind. Die Hypothesenformulierung ist daher in Analogie zur einfachen Varianzanalyse zu sehen, bei der ebenfalls Lageunterschiede zwischen den Gruppen untersucht werden. Sind die Stichprobenvariablen normalverteilt, ist daher die Varianzanalyse als parametrisches Testverfahren dem Kruskal-Wallis Test vorzuziehen. Zur Bestimmung der Prüfgröße werden nun alle vorliegenden Beobachtungswerte x;j der Stichprobenvariablen Xij ohne Berücksichtigung der Stichprobenzugehörigkeit i (i= 1,. . ,.,k) aufsteigendsortiertund entsprechende Ränge Ri vergeben. Der kleinste Beobachtungswert erhält dann den Rang 1, der größte den Rang Zn; = N. Als Prüfgröße wählt man die folgende Statistik [5k- ning/Trenkler(l978), S. 202]:
Kruskal-WallisTest

Die Verteilung der Prüfgröße unter der Annahme der Gültigkeit der Nullhypothese kann mit Hilfe kombinatorischer Überlegungen für kleine k und ni exakt bestimmt werden. Für k > 3 und max(ni) > 5 sollte bereits auf die Chi-Quadrat Verteilung mit k-1 Freiheitsgraden zur Approximation der Verteilung von H ausgewichen werden, da die exakte Bestimmung sehr aufwendig ist. Die Nullhypothese wird zum Signifikanzniveau a verworfen, wenn der Wert der berechneten Prüfgröße das 1 -aFraktil der Chi- Quadrat Verteilung mit k-1 Freiheitsgraden übersteigt.

Literatur: Bümng, //.; Trenkler, G.,Nichtparametrische statistische Methoden, Berlin, New York 1978.

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