Optionspreisbildung

Kaufoptionen (Calls) und Verkaufsoptionen (Puts) liegt stets ein bestimmtes Basisobjekt zugrunde (Optionsgeschäft). Basisobjekte können Aktien und Aktienindizes, Renten und Rentenindizes, Devisen, Waren oder andere Objekte sein. Die Preise dieser Optionen bilden sich aufgrund von Arbitragemöglichkeiten. So kann sich z. B. der Verkäufer der Kaufoption ein bei kleinen Kursänderungen risikoloses Hedge- Portefeuille aus einer wohldefinierten Menge des Basisobjekts und einer Kreditaufnahme aufbauen. Die Menge des Basisobjekts wird bestimmt durch die Hedge-Rate Delta, die erste Ableitung Sc/öS der Funktion c(S) des Wertes der Kaufoption (c) in Abhängigkeit vom Wert des Basisobjekts (S). Der Verkäufer der Kaufoption konstruiert auf diese Weise den Kauf einer Kaufoption (Duplikation), der den ursprünglichen Verkauf der Kaufoption hedgt. Um die Wertveränderung der Option bei Kursänderungen des Basisobjekts in dem Portefeuille auszugleichen, muss man die quantitative Zusammensetzung des Portefeuilles aus Basisobjekt und Kreditaufnahme ständig in wohldefinierter Weise variieren (Deltahedging). Das Hedge-Portefeuille des Verkäufers einer Kaufoption muss das Basisobjekt stets im Werte von öc/öS • S enthalten. Der Kapitaleinsatz für dieses, in der Zusammensetzung ständig geänderte, Hedge- Portefeuille, die Differenz zwischen öc/öS-S und dem Erlös aus dem Verkauf der Kaufoption c, muss für den Verkäufer der Kaufoption den marktüblichen Zins abwerfen. Dies ist letztlich der Grund dafür, dass der Käufer einer Option einen Optionspreis bezahlen muss. Optionspreisrechnung stellt damit Zinseszinsrechnung unter Berücksichtigung von stochastischen Variablen dar. Für die Preisbildung anderer Optionstypen gilt der gleiche Grundsatz, wobei das Hedge- Portefeuille jeweils in unterschiedlicher Weise aufgebaut wird. Den Kauf eines Puts z. B. dupliziert man durch Terminverkauf einer wohldefinierten Menge des Basisobjekts. Die Hedgemöglichkeit erlaubt unter bestimmten, plausiblen Bedingungen die mathematisch exakte Bestimmung des Optionswertes, sofern der Kurs des Basisobjekts gegeben ist. Der Wert der Kaufoption (c) und der Verkaufsoption (p) ist eine Funktion in mehreren Veränderungen, nämlich • des Aktienkurses (stock price S), • des Ausübungskurses (strike price K), • der Laufzeit der Option (time T), • der stetigen Bestandshaltekosten des Basisobjekts (cost of carry i_c), • des stetigen inländischen Zinssatzes (dome- stic rate of interest (ij) und • der Volatilität des Basisobjekts (er). Die Volatilität o wird gemessen durch die Standardabweichung der Logarithmen der Kursveränderungsfaktoren des Basisobjekts über einen gewählten Zeitraum (meistens 250 Börsentage). Dabei hängt der Wert jederzeit ausübbarer (sog. amerikanischer) Optionen von den in der Tabelle aufgeführten preisbestimmenden Faktoren in der dort angegebenen Weise ab. Optionspreisbildung

Die Veränderung des Wertes von Optionen, die nur zu einem bestimmten Zeitpunkt aus- übbar sind (sog. europäische Optionen), in Abhängigkeit von der Laufzeit der Option lässt sich nicht generell angeben, sondern hängt von der jeweiligen Konstellation der sonstigen Parameter ab. Die Formeln für die Werte von europäischen Calls und Puts lauten: Optionspreisbildung

dabei bedeuten: und Optionspreisbildung

N(-) symbolisiert dabei den Wert der kumulierten Standardnormalverteilung. Zur Berechnung der Werte bedient man sich i.d.R. eines Computers, entsprechende Software wird reichhaltig angeboten. Amerikanische Optionen werden bei stetigen Bestandshaltekosten nach denselben Formeln bewertet, wobei zu den Werten c und p jeweils ein Zusatzterm addiert wird, der den Wert des Rechtes zur Ausübung der Option vor ihrem Verfalltermin zum Ausdruck bringt. Zur Berechnung dieses Zusatzterms sei auf die Literatur verwiesen. Die Werte für europäische Optionen nähern häufig jene für amerikanische an, sofern die Laufzeit kurz (weniger als sechs Monate) ist und/oder die Basisobjekte keine Erträge abwerfen. Auf keinen Fall dürfen die Werte europäischer Optionen auf amerikanische übertragen werden, wenn damit gerechnet werden muss, dass die Option vorzeitig ausgeübt wird. Das ist der Fall • bei Puts, wenn S < K ist, und • bei Calls, wenn i_c ia und S K sind, die Option mithin im Geld steht. Literatur: Welcker, J.IKloy, ]. W./Schindler, K., Professionelles Optionsgeschäft - alles über Optionen auf Aktien, Renten, Devisen, Terminkontrakte, 3. Aufl., Zürich 1992.

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