Chaos

mathematische Eigenschaft einiger nicht linearer dynamischer Systeme. Obwohl ein System deterministisch ist, d.h. keine Zufallsvariablen berücksichtigt werden, kann es Zeitreihen der erfaßten Variablen erzeugen, die einen scheinbar zufälligen Charakter aufweisen. Als einfacher Prototyp dient die sog. »logistische Differenzengleichunge
Chaos

Nimmt der Parameter a einen Wert zwischen 0 und 4 an, wird der Wert xc+t der Variable in der Periode t+1 zwischen 0 und 1 liegen, wenn dies auch für den Wert xt der Variable in der Periode t zutrifft.
Chaos

Eine Darstellung der logistischen Differenzengleichung in einem (x<, xt+i)-Diagramm ergibt einen nach unten geöffneten, parabelförmigen Graphen, der in Abhängigkeit von der Höhe des Parameters a nach oben oder unten gestreckt wird. Der Schnittpunkt des Graphen mit der 45°-Hilfslinie definiert einen Fixpunkt (--) steady state economy) des dynamischen Systems, bei dem die Variable sich im Zeitablauf nicht mehr ändert. Ob der Fixpunkt im Zeitablauf erreicht wird, hängt von der Steigung der Graphen in diesem Punkt ab. Für kleine Werte von a ist die Steigung im Schnittpunkt positiv, so dass der Fixpunkt stabil ist. Für ansteigende Werte von a wird die Steigung im Schnittpunkt negativ und impliziert stabile Fixpunkte, solange die Steigung absolut kleiner als 1 bleibt. Für noch steilere Graphen ist der Fixpunkt instabil, und es entstehen Oszillationen um den Fixpunkt. Bei der logistischen Gleichung ist dies ab dem Wert a = 3 des Parameters der Fall. Ansteigende Werte des Parameters implizieren, dass zuerst Oszillationen der Periode 2 auftreten, d.h., die von dem System erzeugte Zeitreihe springt beständig zwischen zwei Werten hin und her. Für höhere Parameterwerte gibt es (nacheinander) Oszillationen mit den Perioden 4, 8, 16 usw. Für Parameterwerte jenseits eines kritischen Wertes ac = 3,57 sind komplexe dynamische Phänomene beobachtbar. Es können Oszillationen mit jeder beliebigen Periode auftreten (gerade und ungerade natürliche Zahlen). Es können jedoch auch Zeitreihen erzeugt werden, die nie zu einem vorher erreichten Wert zurückkehren (sog. aperiodische Zeitreihen). Ferner besitzen einige aperiodische Zeitreihen eine Eigenschaft, die für praktische Anwendungen eine besondere Bedeutung hat. Die »sensitive Abhängigkeit von den Startwerten« bedeutet, dass zwei vom gleichen System erzeugte Zeitreihen, die in möglicherweise sehr nahe beieinander liegenden Startwerten beginnen, sich nach kurzer Zeit stark unterscheiden. Obwohl das System grundsätzlich deterministisch ist und bei genauer Kenntnis eines Wertes xt der zukünftige Wert xt+t eindeutig festliegt, kann die immanente, konzeptionell bedingte Ungenauigkeit digitaler Rechenanlagen einerseits dazu führen, dass sich völlig unterscheidende Zeitreihen auf der gleichen Rechenanlage bei geringfügig unterschiedlichen Startwerten einstellen werden. Andererseits ist u.U. der gleiche Effekt zu erzielen, wenn die Berechnung einer im gleichen Startwert beginnenden Zeitreihe auf zwei unterschiedlichen Anlagen stattfindet. Die gleichzeitige Präsenz von periodischen Zeitreihen beliebiger Periode sowie aperiodischer Zeitreihen mit ggf. sensitiver Abhängigkeit von den Startwerten in einem gegebenen dynamischen System (d.h. hier bei einem bestimmten Wert des Parameters) wird als »Chaos« bezeichnet. Insbes. folgt für ein gegebenes System die Existenz dieser chaotischen Bewegung, wenn eine Oszillation mit der Periode 3 beobachtet werden kann. Obwohl alle diese periodischen und aperiodischen Zeitreihen gleichzeitig existieren, sind die meisten instabil und können somit bei numerischen Simulationen nicht beobachtet werden. Aperiodische Zeitreihen und Zeitreihen mit sehr großer Periode besitzen ein Aussehen, das demjenigen stochastischer Zeitreihen sehr ähnlich ist, obwohl das zugrundeliegende System (z.B. die obige logistische Gleichung) keine Zufallsvariablen enthält. Die beschriebenen Eigenschaften sind nicht auf die erwähnte logistische Gleichung beschränkt. Nicht lineare Differenzengleichungen in einer Variablen, die ein ähnliches Aussehen wie die logistische Gleichung besitzen und in denen die Steilheit ihrer Graphen im Fixpunkt von einem Parameter in der gleichen Weise, wie dies oben geschildert wurde, gesteuert werden kann, besitzen vergleichbare dynamische Eigenschaften. Häufig ist es möglich, scheinbar universelle Konstanten in der Abfolge des Entstehens von Oszillation der Periode 2, 4, 8 usw. zu beobachten. Nicht lineare Differenzengleichungssysteme, in denen mehr als eine Variable erfaßt werden, können darüber hinaus noch komplexere zeitliche Muster erzeugen, als dies von der logistischen Gleichung her bekannt ist. Ferner kann Chaos in zeitstetigen Differentialgleichungssystemen mit mindestens drei Zustandsvariablen entstehen, wobei die Definition chaotischer Bewegung entsprechend angepaßt werden muß. Das scheinbar stochastische Aussehen einer chaotischen Zeitreihe zusammen mit der sensitiven Abhängigkeit von den Startwerten kann für die Wirtschaftstheorie eine Modellierungsalternative bei der Beschreibung empirischer Zeitreihen darstellen: Empirische ökonomische Zeitreihen weisen häufig einen hohen Irregularitätsgrad auf, dem in ökonometrischen Beschreibungen durch die Aufnahme von Zufallsvariablen Rechnung getragen wird. Diese Zufallsvariablen sind aber stets exogen bestimmte Variablen, die ökonomisch nicht erklärt werden. Die Beschreibung empirischer Zeitreihen mit Hilfe chaotischer, deterministischer Systeme stellt hingegen eine endogene Analyse dar, in der die beobachtbaren Irregularitäten eine Folge der unterstellten nicht linearen funktionalen Zusammenhänge sind. Ökonomische Beispiele für chaotische Dynamik existieren in der Konjunktur- und Wachstumstheorie, der - Preistheorie (Cobweb-Modell) und der allgemeinen Gleichgewichtstheorie. Literatur: Rosser, B.J. (1991). Grandmont, J.-M. (1985). Day, R.H. (1982)

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