Gesetz der großen Zahl(en)

Allgemein formuliert der Grundsatz, dass an einer großen Zahl von Fällen typische Regelmäßigkeiten erkennbar sind, die an einer kleinen Zahl von Fällen noch nicht erkannt werden können. Es ist eine der grundlegenden Regelmäßigkeiten der Wahrscheinlichkeitstheorie und besagt, dass bei der Beobachtung von Massenerscheinungen mit wachsender Zahl der Beobachtungen die typischen Zahlenverhältnisse in der Masse um so deutlicher und dementsprechend die zufälligen Abweichungen um so seltener auftreten. Die mathematische Formulierung des Gesetzes der großen Zahlen geht auf Jakob Bernoulli zurück; die Bezeichnung toi des grands nombres stammt von Simeon Denis Poisson.
In der Stichprobentheorie besagt es, dass der durch eine Stichprobe ermittelte Schätzwert bei wachsendem Stichprobenumfang mit immer geringerer - Wahrscheinlichkeit vom wahren Wert der Grundgesamtheit abweicht.
Formalisiert ausgedrückt besagt das Gesetz der großen Zahlen, dass mit wachsender Zahl unabhängiger Wiederholungen eines Zufallsexperiments die relative Häufigkeit eines Ereignisses auf eine Konstante strebt. Ist A ein zufälliges Ereignis, dessen Eintrittswahrscheinlichkeit bei einmaliger Durchführung eines Zufallsexperiments P ist, und gibt die Zufallsvariable X an, wie oft A bei n unabhängigen Zufallsexperimenten eintritt (wobei E > 0 ist), so gilt

Gesetz der großen Zahl(en)

mit anderen Worten die relative Häufigkeit X/n konvergiert mit wachsender Zahl der Zufallsexperimente gegen den entsprechenden Anteils-wert P in der Grundgesamtheit.

Aus der Mathematik (Wahrscheinlichkeitstheorie) bekannte Theorie, wonach sich die Realität an die Verteilung von Eintrittswahrscheinlichkeiten annähert, je häufiger eine Handlung (Entscheidung) wiederholt werden kann. Insbesondere in der Versicherungswirtschaft ist dieses Gesetz bei der Verteilung von Risiken und deren Eintrittswahrscheinlichkeiten relevant. Je größer die Zahl der versicherten Personen, Güter und Sachwerte, die von der gleichen Gefahr bedroht sind, desto verlässlicher ist die Vorhersage über den künftigen Schadensverlauf. Der mathematische Erwartungswert sagt jedoch nichts über die reale Risiko- bzw. Schadensverteilung einzelner Fälle aus.

Eine Art Grundgesetz der Versicherungswirtschaft. Hiermit versucht man, wahrscheinlichkeitstheoretische Vorhersagen über künftige Schadenverläufe zu machen: Je grösser die Zahl der erfassten Personen, Güter und Sachwerte, die von der gleichen Gefahr bedroht sind, desto geringer ist der Einfluss von Zufälligkeiten. Betrachtungen über den Zufall beim Würfelspiel führten zum Entstehen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit deren Hilfe Voraussagen über die Häufigkeit von Zufallsereignissen möglich sind. Als eigentlicher Schöpfer der Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt der Franzose Blaise Pascal (1623 bis 1662). Das Gesetz der grossen Zahl sagt nichts darüber aus, wer von einem Schaden getroffen wird. Es gibt aber Aufschluss darüber, wie viele der in der Risikogemeinschaft Zusammengeschlossenen von einem bestimmten Unglücksfall wahrscheinlich ereilt werden.

gehören zu den Grenzwertsätzen (z.B. zentraler Grenzwertsatz) der mathematischen Statistik, die Aussagen treffen über die Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen gegen bestimmte Grenzwerte. So sagt z. B. das sog. schwache Gesetz der grossen Zahlen aus, dass für eine Folge von n voneinander unabhängigen Zufallsvariablen Xi (i = 1, 2,..., n), die alle den gleichen Erwartungswert E (Xi) = i besitzen, das arithmetische Mittel gesetze der grossen zahlen

mit zunehmendem n (n oo) stochastisch gegen i konvergiert. Literatur: Fisz, M., Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, 11. Aufl., Berlin (Ost) 1988.

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