Gleichgewichtskonzepte der Spieltheorie

sind Lösungskonzepte der Spieltheorie,
Gleichgewichtskonzepte der Spieltheorie

die sich durch Stabilität der gewählten Handlungsalternativen (Strategien) auszeichnen. Am bekanntesten ist das NASH-Gleichgewicht. Man betrachtet eine Entscheidungssituation, die durch ein Spiel r = (N, S, u) beschrieben ist, wobei N = (1,...,n) die Menge der Spieler (Entscheider, Agenten), das kartesische Produkt S = Six...xS„ den Strategienraum und u = (u1,...,un) den Vektor der Nutzenfunktionen beschreiben, mit denen die Spieler das Ereignis bewerten, das aus der Wahl eines Strategienvektors s = resultiert. Si ist die Strategienmenge des Spielers i; jeder Spieler i in N wählt ein Element aus seiner Strategienmenge Der Strategienvektor s* (aus S) ist ein NASH-Gleichgewicht, wenn für jeden Spieler i in N und jede Strategie s; in S; gilt: u; (s*) = u, (s1*,...s;* s„*) u; D.h., s;* ist eine (NASH-)Gleichgewichtsstrategie für i, falls sich i durch keine ihm zur Verfügung stehende alternative Strategie s; besser stellen kann, »gegeben« die Strategien aller anderen Spiele in N. Die Strategien in einem NASH-Gleichgewicht sind »beste Antworten« zueinander. Das NASH-Gleichgewicht wurde verallgemeinert und Bedingungen für seine Existenz abgeleitet. Das (mikroökonomische) allgemeine Gleichgewicht, die COURNOTLösung und die BERTRAND-Lösung im Oligopol sowie der COURNOT-Punkt des gewinnmaximierenden Monopols sind spezifische NASH-Gleichgewichte (Oligopolspiele). Der Spielbaum in Abb. 1 hat zwei NASHGleichgewichte: die Strategienpaare (s11, s22) und (s12, s21). Das Paar (s11, s22) scheint allerdings wenig plausible Entscheidungen zu repräsentieren: Spieler 2 würde nicht s22 wählen, falls sich 1 bereits für s12 entschieden hätte; s22 ist eine »leere Drohung« des Spielers
2. Derartige NASH-Gleichgewichte waren Ausgangspunkt der sog. Refinements (Verfeinerungen) des NASH-Gleichgewichtkonzepts. Reinhard SELTEN formulierte die Bedingung der Teilspielperfektheit: Ein Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn die Strategien, die in jedem (reinen) Teilspiel gewählt werden, NASH-Gleichgewichtsstrategien sind. s22 ist keine »beste Antwort« auf s12 und damit keine NASHGleichgewichtsstrategie in dem (degenerierten) Teilspiel, das in Punkt B beginnt. Ein reines Teilspiel beginnt stets in einer Informationsmenge (Spieltheorie), die nur einen Knoten enthält. Das Spiel in Abb. 2 hat wiederum zwei NASH-Gleichgewichte: (s11, s21) und (s12, s22). Hier scheint das Strategienpaar 012, s22), dem das Nutzenpaar (0, 0) entspricht, wenig plausibel, aber es ist teilspielperfekt, denn die Matrix drückt aus, dass die Entscheidungen jedes Spielers ohne Kenntnis der Entscheidung des Mitspielers erfolgen. Das Spiel hat nur ein reines Teilspiel, nämlich das Spiel selbst. Somit sind (s11, s21) und (s12, s22) teilspielperfekt. Davon ausgehend, stellte SELTEN die Frage, welche Strategien gewählt werden würden, falls Spieler 1 nicht ausschließen kann, dass Spieler 2 s21 wählt, falls die »Hand« von Spieler 2 »zitterte« und er mit einer kleinen Wahrscheinlichkeit E >0 s21 statt s22 wählte. Für jedes e>0 ist dann der Erwartungsnutzen von Spieler 1 aus der Wahl der Strategie s11 gleich 1 E + 0(1-E ) = e >0, während der Erwartungsnutzen aus Strategie s12 gleich OE + 0(1-E) = 0 ist. Da das Strategienpaar (sI2, s22) kein Gleichgewicht eines Spiels mit beliebigem E ist, kann es auch nicht die Grenze einer Folge von Spielen sein, für die e gegen Null geht. Ein NASH-Gleichgewicht, das sich als Grenze einer derartigen Folge bestätigt, ist »trembling-hand-perfekt«, z.B. (s,,, s21) in Abb.
2.
Gleichgewichtskonzepte der Spieltheorie

Ein verwandtes, allerdings nur auf -sequentielle Spiele anwendbares Lösungskonzept ist das sequentielle Gleichgewicht. Ausgangspunkt ist, dass mindestens ein Spieler i in N keine perfekte Information hat (Spieltheorie) und Entscheidungen treffen muß, ohne mit Sicherheit zu wissen, welche Strategien seine Mitspieler wählten. Er formuliert Erwartungen pi über die Strategien der Mitspieler, die mit dem Spielverlauf und mit der Forderung, dass die gewählten Strategien beste Antworten zueinander sind, vereinbar (bzw. konsistent) sind. Ein sequentielles Gleichgewicht ist also ein Paar (, s*), wobei lt der Vektor ist, der die Erwartungsbildung (Wahrscheinlichkeitseinschätzungen) aller Spieler zusammenfaßt, die Entscheidungen ohne perfekte Information treffen. s* ist der Vektor »bester Antworten« und beinhaltet somit ein NASHGleichgewicht. Eine weitere Verfeinerung des NASH-Gleichgewichts stellt das von Robert MYERSON eingeführte e -propere Gleichgewicht dar. Es beruht auf der Annahme, dass ein Spieler folgenreiche Fehler eher vermeiden wird als weniger dramatische. Der Gegenspieler wird deshalb geringere Wahrscheinlichkeiten für jene Strategien ansetzen, die schwerwiegende Fehler implizieren. Dadurch werden einige NASH-Gleichgewichte ausgeschieden, die den Filter des trembling-hand-perfekten Gleichgewichts passierten. Die Mengenbeziehungen der besprochenen Gleichgewichtskonzepte sind in Abb. 3 zusammengefaßt. Die Menge der properen Gleichgewichte (P) ist eine Teilmenge der trembling-hand-perfekten Gleichgewichte (TH), und diese wiederum sind eine Teilmenge der sequentiellen Gleichgewichte (SQ), während SQ eine Teilmenge der teilspielperfekten Gleichgewichte (TP) ist, die selbst eine Teilmenge der NASH-Gleichgewichte (N) ist. Literatur: Güth, W. (1992). Holler, M.J., Illing, G. (1991). Damure, E. van (1987)

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