logistische Funktion

häufig benutzte Prognosefunktion für langfristige Prognosen (Wachstums- und Sättigungsfunktionen). Grundlage der logistischen Funktion ist die Annahme, dass das Wachstum des betrachteten Prozesses (z. B. des Pkw- Bestandes in einem Land) proportional ist • dem zum Zeitpunkt t erreichten Niveau x(t) und • der Differenz zwischen dem erreichten Niveau x(t) und dem absoluten Sättigungsniveau S logistische Funktion

wobei a der Proportionalitätsfaktor und dx/dt das Wachstum pro Zeiteinheit sind. Aus der Wachstumsgleichung ergibt sich durch Integration und nach mehreren Umformungen die Gleichung der logistischen Funktion: Die Parameter S, a und C müssen aus den Vergangenheitsdaten der Zeitreihe geschätzt werden. Die Abbildung zeigt die Prognose des Pkw-Bestandes je 1000 Erwachsene in der Bundesrepublik mit Hilfe der logistischen Funktion, für die folgende Parameter geschätzt wurden: S = 625, a = 0,000216, C =-2,6109.

(logistische Kurve): Eine in der Wirtschaftsprognostik verwendete symmetrische Wachstumsfunktion, die ebenso wie die Gompertzfunktion und die - modifizierte Exponentialfunktion auf - Sättigungsfunktionen beruht. Ihre allgemeine Formel lautet:

logistische Funktion

Dabei bezeichnet a das geschätzte Sättigungsniveau von Y, b den Abstand des Nullpunkts vom Wendepunkt, c das Steigungsmass und e die Basis der natürlichen Logarithmen. Die graphische Darstellung der logistischen Funktion ergibt ebenso wie die - Gompertzfunktion eine s-förmige Kurve, die allerdings im Gegensatz zu dieser symmetrisch verläuft. Logistische Kurven sind ebenso wie Gompertzkurven für die Prognose langfristiger Entwicklungen geeignet. Hinlänglich genaue Werte für b und c können durch Schätzung aufgrund von Zeitreihendaten oder durch Versuch und Irrtum (Trial and Error) und Vergleich mit Werten, die in der Vergangenheit tatsächlich beobachtet wurden, ermittelt werden. Bis zum Wendepunkt nimmt das Wachstum zu, danach nimmt es ab.

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