Leontief-Produktionsfunktion

mathematisch einfachster Grundtyp von Produktionsfunktionen. Die nach Wassily Leontief benannte Produktionsfunktion ist outputorientiert formuliert und geht von einer Limitationalität der Einsatzgüter aus. Die Menge eines hinsatzgutes in einem Produktionsprozess hängt daher nicht von den Mengen anderer Einsatzgüter ab. Zudem wird bei der Leontief-Produktionsfunktion angenommen, dass ausser der im Rahmen des betrachteten Produktionsprozesses anfallenden Ausbringungsmenge keine anderen Grössen den Verbrauch der Einsatzgüter beeinflussen. Daher kann der Zusammenhang einfach durch das Output-Input-Verhältnis zwischen Endergebnis und Einsatzgut gekennzeichnet werden. Von diesem Verhältnis wird angenommen, dass es unabhängig von der Ausbringungsmenge ist, so dass sich insgesamt ein konstanter Produktionskoeffizient ergibt. Die Transformationsfunktion zur Bestimmung der Einsatzmenge von Gut i zur Herstellung der Menge von Gut j hat also die einfache lineare Gestalt: r = a-rj, wobei der betreffende Produktionskoeffizient ist. Das bei zwei Einsatzgütern und einem Ausbringungsgut entstehende Ertragsgebirge ist pyramidenförmig. Zur vollständigen Kennzeichnung einer Leontief-Funktion genügt die Kenntnis des entsprechenden Koeffizienten. Daher lassen sich auch die Produktionsbeziehungen bei mehrstufiger Mehrproduktfertigung übersichtlich darstellen. Bei n Güterarten gibt es n² Produktionskoeffizienten a( für i,j = 1, ..., n (einige a( sind Null), die in einer Direktbe- darfsmatrix A zusammengefasst werden können. Die Produktionsmenge rj jedes Gutes i kann bei mehrstufiger Produktion sowohl als Input wie auch als Output angesehen werden. Soll von Gut i die Menge Xj letztlich an den Markt abgegeben werden, gelten folgende Gleichungen für den Güterfluss der wiedereingesetzten und abgesetzten Mengen: Leontief-Produktionsfunktion

Hieraus können, falls die Struktur der Di- rektbedarfsmatrix A nicht entartet ist, die Produktionsmengen r = (ri, r₂,..., r_n) explizit bestimmt werden: r = (E — A)"¹ • x (E sei die Einheitsmatrix). Die Matrix G: = (E - A)"¹ heisst Gesamtbedarfsmatrix. Durch die Werte der Gesamtbedarfsmatrix ist jede Leontief-Produktionsfunktion eindeutig gekennzeichnet: r = G • x. Leontief-Produk- tionsfunktionen sind für volkswirtschaftliche Analysen, wo der Anwendungsbereich ursprünglich lag, aber auch für betriebswirtschaftliche Anwendungen von einiger Bedeu- prozesse lässt sich mit Leontief-Produktions- funktionen erfassen. Diese bilden auch die produktionstheoretische Grundlage vieler betriebswirtschaftlicher Planungsrechnungen, so z. B. der Stücklistenauflösung. Literatur: Schweitzer, M./Küpper, H.-U., Produktions- und Kostentheorie der Unternehmung, Reinbek bei Hamburg 1974.

von Wassily W. LEONTIEF zunächst für Zwecke der - Input-Output-Analyse formulierte - Produktionsfunktion, die als Beziehung zwischen den - Inputs lineare Limitationalität (konstante - Inputkoeffizienten a) unterstellt. Für den Fall, dass alle Faktoren bis auf einen reichlich vorhanden sind, besteht bis zur Ausschöpfung dieses Engpaßfaktors eine lineare Beziehung zwischen dessen Einsatz und dem - Output. In der formalen Darstellung gilt:
LEONTIEF-Produktionsfunktion

wobei a;i das fixe Verhältnis zwischen den Inputs (i) und dem Output (j) angibt:
LEONTIEF-Produktionsfunktion

Die vollständige Ausschöpfung des knappsten Faktors legt das Outputniveau fest, weil dieser Faktor unbedingt zur Produktion benötigt wird und durch keinen anderen, noch so reichlich vorhandenen Input ersetzt werden kann. Die - Isoquante einer LEONTIEF-Produktionsfunktion mit zwei Inputs X1 und X2 hat (bei nur einem technisch möglichen Produktionsprozess I) das in der Abb. wiedergegebene Aussehen. Man kann die LEONTIEF-Produktionsfunktion als Spezialfall der CES-Produktionsfunktion (Substitutionselastizität gleich Null) ansehen. Strenggenommen fällt die Isoquante der LEONTIEF-Funktion mit dem Punkt P zusammen, denn alle anderen Punkte sind nicht technisch effizient; sie bedeuten eine Verschwendung von Produktionsfaktoren.

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